Tonos virtuales y análisis armónico

Llorenç Balsach

Introducción

El concepto de tono virtual de E. Terhardt (1974) se emplea en psicoacústica como un método para la extracción de tono(s) fundamental(es) de señales acústicas complejas (vease al respecto Terhardt, Stoll & Seewann (1982b, 1982c), Meddis & Hewitt (1991), Van Immerseel & Martens (1992), Leman (1995)). Puede resumirse como el tono o tonos que el sistema auditivo aprecia en un sonido o agrupación de sonidos.

Se han dado algunas tentativas para introducir el concepto acústico de tono virtual en teoría musical. Fue el mismo Terhardt (1982a) quién aplicó su teoría para la extracción de la(s) fundamental(es) de acordes musicales. R. Parncutt (1988), al ver que los resultados del modelo de Terhardt no coincidían suficientemente con la teoría musical convencional realizó una revisión del modelo, dando unos resultados que diferían notablemente de los que se deducían del modelo original de Terhardt.

Aunque el concepto de tono virtual, aplicado a acordes, es entendido por los teóricos de manera parecida, su aplicación concreta en teoría musical ha sido objeto de algunas divergencias. Como hemos dicho, los modelos de Terhardt (1982a) y Parncutt (1988) difieren bastante entre sí, especialmente en lo que se refiere a los acordes menores y disminuidos. También difieren respecto la noción de fundamental de Hindemith (1937) y de la reducción de Riemann de todos los acordes a las tres conocidas funciones de tónica, dominante y subdominante. El mismo modelo de Terhardt, Stoll & Seewann (1982b, 1982c) para la extracción de tono(s) fundamentales de señales acústicas, al aplicarse a acordes interpretados al piano, diferían de los resultados que se esperaban del modelo de Terhardt (1982a) aplicado a acordes menores, e incluso se daban resultados diferentes según la inversión del acorde1, hecho que estaría a favor de las teorías de Hindemith, pero en contra de la esencia misma de los conceptos de fundamental y tono virtual. Y, como era de esperar, todos estas teorías y aplicaciones experimentales anteriores difieren notablemente de la definición dogmática de fundamental como la nota inferior de un conglomerado de notas ordenadas por terceras.

En este artículo discutiremos los modelos citados y analizaremos las causas de estas divergencias. A su vez, presentaremos un nuevo modelo para el análisis funcional de los acordes que tiene sus raices en el concepto de tono virtual y en la tensión interna que cualquier nota musical crea por sí sola. A diferencia de los sistemas anteriores la sencillez de dicho modelo permitirá su aplicación en partituras musicales sin necesidad del empleo de ordenadores.

Es importante señalar que no se trata únicamente de un sistema para la extracción de fundamentales de acordes o arpegios musicales, sino que nos proporcionará un tipo de información hasta ahora desconocida sobre la tensión entre acordes, las cadencias y el seguimiento de centros tonales en partituras armónicamente complejas.

Tono virtual

El concepto de tono virtual, aplicado a acordes musicales, tiene su origen en los conceptos históricos de basse fondamentale de Rameau2, el terzo suono de Tartini3 y la teoría armónico-funcional de Riemann, conceptos que, a lo largo de la historia, fueron perdiendo --injustamente-- su significado como fundamentos de la armonía hasta quedar relegados a un segundo plano mezclados con las reglas generales de la armonización a cuatro voces. Fue el propio Terhardt (1982a) que relacionó, de nuevo, el concepto de tono virtual con el concepto musical de fundamental, dándole una dimensión acústica que hasta entonces no había tenido.

El modelo de fundamentales de Tehardt (1982a) choca con la teoría tradicional en que no hay una única fundamental representante de un acorde sino una colección de fundamentales, disponiendo todas ellas de un determinado peso específico como representantes del acorde. También diverge de la teoría tradicional respecto las fundamentales de los acordes menores.

La noción de tono virtual, aplicado a acordes, la podríamos explicar, de una manera esquemática, de distintas maneras:

Una definición podría ser la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cual sería la nota que el sistema auditivo tendría tendencia a oír si sustituyéramos las notas de los acordes --interpretadas por instrumentos-- por sonidos puros como los armónicos (ondas sinusoidales)? Esta(s) nota(s) sería(n) el tono o los tonos virtuales. Este tono virtual no tiene porque existir en el acorde.

Otra definición de tono virtual sería la de tono que se aprecia en un sonido complejo como resultado de la Gestalt 4 en percepción auditiva, de manera parecida al resultado de la Gestalt en percepción visual (Fig. 1)(Terhardt 1974). El tono virtual sería equivalente, acústicamente, a la completación de los contornos de la Fig. 1.

 

La construcción de los modelos de fundamentales de Terhardt (1982a) y Parncutt (1988) es parecida; de hecho, el modelo de Parncutt es una revisión de los modelos de Terhardt (1982a y 1982b). El proceso consiste básicamente en aplicar el patrón interválico de los armónicos (hasta los 9 primeros) a los acordes musicales. Las notas y intervalos están considerados como tono-tipo y intervalo-tipo5, es decir, se aplica la equivalencia entre octavas y entre inversiones.

El procedimiento que se sigue en el modelo de Terhardt es el siguiente: dado un acorde, se trata de localizar todos los posibles "subarmónicos" de cada nota del acorde. Como subarmónico se entiende un tono que dispone de una relación interválica --respecto a dicha nota-- que se ajusta a algún intervalo natural de los armónicos (respecto su fundamental). Es decir, los subarmónicos de una nota son los tonos de los cuales la nota se puede considerar armónico. Cada subarmónico es un tono virtual teórico. El tono que sea más veces subarmónico de las notas del acorde será el mejor candidato a fundamental del acorde. Estas son las premisas básicas del modelo de Terhardt (1982a).

El patrón interválico de los armónicos es equivalente a la estructura interválica determinada por el acorde DO:SOL:MI:SIb:RE (los 9 primeros armónicos a partir de una fundamental DO, eliminando notas repetidas)

Por ejemplo, dado el acorde LA:DO:MI,

-LA tiene como subarmónicos LA (patrón DO:DO), RE (patrón DO:SOL), FA (patrón DO:MI), SI (patrón DO:SIb), SOL (patrón DO:RE)

-DO tiene como subarmónicos DO, FA, LAb, RE, SIb

-MI tiene como subarmónicos MI, LA, DO, FA#, RE

Por lo tanto, RE aparece tres veces y LA, DO y FA, dos veces. Esto es equivalente a decir que las tres notas del acorde de LA menor son armónicos de RE y que dos notas del acorde son armónicos de LA, DO y FA. Según este modelo RE sería el tono que tendría más "puntos" (3 veces RE) para figurar como fundamental del acorde, seguido de LA (2), C (2) y F (2).

Parncutt (1988) especifica que este modelo de Terhardt (1982a) no explica satisfactoriamente los acordes menores según la teoría convencional, la cual da como fundamental del acorde el tono LA en vez de RE. Parncutt, claramente influenciado por la teoría musical tradicional, propone una revisión de este modelo: Basándose en el parecido que existe entre el intervalo-tipo que se forma entre los armónicos 3º y 5º y entre los armónicos 3º y 7º argumenta que el sistema auditivo oye una especie de "subarmónico" una 3ª menor de la fundamental6; dando soporte, de esta manera, al intervalo-tipo de 3ª menor. El resto del modelo de Parncutt es parecido al de Terhardt pero estableciendo una serie especulativa de pesos para cada armónico que parecen favorecer a las fundamentales de la teoría musical tradicional.

Parncutt revisa el modelo de Terhardt porque cree que la teoría musical no es conforme a sus resultados; posiblemente tiene razón. Pero, ¿qué dice exactamente la teoría musical respecto la fundamental del acorde menor?

La teoría armónica convencional, a menudo no distingue suficientemente dos conceptos que son muy distintos entre sí: el de (con)sonancia de un acorde y el de funcionalidad de un acorde como generador de tensión armónica. El primer concepto trata del mayor o menor placer, rugosidad, fragosidad etc. que sentimos al oír el acorde. El segundo concepto trata de la "tensión armónica" que crea el acorde.

Por ejemplo, los dos acordes de la Fig. 2, como creadores de un vector tonal en dirección a DO, tienen idéntica funcionalidad, en cambio tienen una "sonancia" (sonoridad) radicalmente diferente. En este ejemplo, la fundamental como bajo del "estado fundamental" (ordenando las notas por terceras) y la fundamental como representante de la función del acorde coinciden (el tono SOL). Pero el bajo de un acorde ordenado por terceras no siempre coincide con la fundamental entendida como representante de la funcionalidad del acorde. El acorde menor es uno de estos casos.

El acorde LA:DO:MI posiblemente consigue su máxima consonancia con la nota LA como bajo, por lo tanto, LA es la fundamental del acorde. Esta es la argumentación de la teoría convencional. Ahora bien, los estudiantes de armonía saben que no se puede usar este acorde como dominante de RE, por lo tanto, LA (que es dominante de RE) no puede representar la funcionalidad del acorde. Según la armonía funcional, LA no es la fundamental del acorde. Esta confusión respecto la fundamental del acorde menor proviene de que estamos hablando de dos cosas diferentes: la (con)sonancia del acorde y la funcionalidad del acorde.

Ya Rameau consideraba el acorde LA:DO:MI:SOL como un acorde con doble "función", con LA o DO como basse fundamentale , dependiendo de la progresión armónica o de la inversión (LA como sixte ajoutée). Riemann, al reducir la función de todos los acordes a tres clases (Subdominante, Tónica y Dominante) convertía, en DO mayor, el acorde de RE menor como un acorde de subdominante (que anotaba Sp)(fundamental FA), el acorde de MI menor como un acorde de dominante (que anotaba Dp)(fundamental SOL), el acorde de LA menor como de tónica (que anotaba Tp)(fundamental DO) y el acorde disminuido SI:RE:FA como de dominante con fundamental virtual SOL, igual que Tartini, muchos años antes de que este concepto fuera definido, acústicamente, por Terhardt.

Para la armonía funcional la fundamental del acorde LA:DO:MI parece ser, pues, DO.

Así pues, la teoría musical parece asignar la nota LA como bajo para construir los acordes menores más consonantes y la nota DO para representar la función del acorde de LA menor.

Aún podríamos encontrar otra interpretación histórica del acorde menor que es la sostenida por la teoría denominada dualista o polarista (muchas de las teorías hoy en boga -véase Forte, Vogel, Levarie..- se basan en esta teoría) según la cual el acorde menor es un reflejo inverso del acorde mayor y, por lo tanto, la "fundamental teórica" del acorde LA:DO:MI es MI.

Terhardt y Parncutt le añaden, como hemos visto, las fundamentales virtuales RE y FA.

Por consiguiente, las divergencias para establecer la fundamental del acorde menor son considerables. Estas divergencias también las encontraríamos en otro tipo de acordes. El problema, claro esta, es la falta de una definición concreta del significado de fundamental; término que se aplica tanto al bajo que forma el acorde más consonante como al tono que representa funcionalmente al acorde, como al tono que representa acústicamente al acorde.

Una vez definidos los conceptos de tono virtual y expuestas las divergencias respecto el concepto de fundamental presentaremos, en las próximas páginas de este artículo, un modelo de análisis armónico local que tiene en cuenta a la vez los conceptos de tono virtual y de tensión armónica.

Los armónicos primos

Desde Aristoxenos --y para la mayoría de teóricos posteriores, de entre ellos Zarlino y Rameau-- la teoría armónica tiene sus fundamentos en la relación aritmética de los números 1,2,3,4,5,6 (conocido como senario).7 Algunos teóricos, entre ellos Leibniz (ver Luppi, 1989), Tartini (1754 y 1767), Euler, Kirnberger y Vogel (ver Vogel, 1975), añaden el número 7 al senario.

Desde Rameau (1750) es bien sabido que, establecer, en armonía, las relaciones aritméticas de los 6 o 7 primeros números naturales es equivalente a considerar las relaciones --para el sistema auditivo humano-- de los 6 o 7 primeros armónicos de una nota. Por ejemplo, la relación interválica 3/2 (5ª) es la relación interválica entre los armónicos 3º y 2º, la relación 5/4 (3ª mayor) es la relación entre los armónicos 5º y 4º, etc. Los partidarios del número 7 (armónico 7º) consideran la 7ª menor como la relación 7/4. En cambio, los partidarios del senario, consideran la 7ª menor como la relación de dos quintas descententes o cuartas ascendentes (DO:FA:SIb) (4/3 x 4/3). El mismo Riemann, aunque era partidario de la relación del senario para las relaciones tonales, admitía que el intervalo de 7ª menor era un intervalo dado directamente por la naturaleza (Elementar-Musiklehre, Hamburg 1883).8

En psicoacústica no se considera que haya una razón para "cortar" la serie armónica por una determinada posición, y menos por un número tan bajo como 6 o 7. Si se "corta", se hace en posiciones más altas, desde 8 (Plomb, 1964) hasta 15 (Leman, 1995). En muchos casos, lo que se hace --en la construcción de los algoritmos-- no es cortar la serie armónica, sino dar un peso a cada armónico inversamente proporcional a su posición en el espectro acústico.

Ahora bien, el resultado de los posibles tonos virtuales, puede ser bastante distinto según el número de armónicos que se consideren o según el peso que se asigne a cada armónico. Por lo tanto, la "posición de corte" de los armónicos, o su "peso", no es una cuestión superflua.

Nuestro punto de vista es que podemos considerar un número suficientemente alto de la serie armónica (por ejemplo, hasta el armónico 24)9 sin que esto sea obstáculo para que los armónicos realmente significativos para el sistema auditivo se puedan reducir a los 7 primeros.

La razón se debe a que los armónicos que son múltiplos de un armónico primo tienen menos importancia para el sistema auditivo que los que ocupan posición prima, ya que son oídos y entendidos como generados por estos. De la misma manera que la fundamental es la síntesis de todos sus armónicos, los armónicos primos son la síntesis del resto de armónicos múltiples. En la estructura armónica podríamos considerar dos niveles de percepción auditiva: (Fig. 3)

-La fundamental como percepción de todos los armónicos (primos).

-Los armónicos primos como percepción de todos los armónicos múltiples.

Lo que realmente da importancia a cada armónico primo es la cantidad de sus armónicos múltiples audibles y distinguibles por el sistema auditivo.

 

Los resultados de la Fig. 3 reflejan la historia de la teoría armónica al considerar que los armónicos que son funcionalmente significativos para el sistema psico-fisiológico auditivo humano están entre los 5 y los 7 primeros.

Los acordes convergentes como patrón para los tonos virtuales

Así pues, nuestro modelo únicamente tiene en consideración los armónicos primos hasta el número 7, a diferencia de los modelos de Terhardt y Parncutt que consideran los 9 primeros armónicos. La estructura patrón está formada, pues, por el acorde DO:SOL:MI:SIb, que nosotros llamamos acorde convergente completo (igual que Terhardt y Parncutt, considerado como acorde-tipo, es decir, sea cual fuere el orden de las notas).

Nuestra manera de concebir los tonos virtuales difiere del sistema de "busqueda de subarmónicos" de los modelos de Terhardt y Parncutt. La verdad es que nuestro modelo se realizó hace ya algunos años sin conocimiento de los modelos anteriormente analizados. Es por esta razón que la metodología utilizada difiere sensiblemente. Nosotros pensamos más en patrones interválicos que en subarmónicos, aunque, limitados a los 7 primeros armónicos, los resultados en el cálculo de los tonos virtuales, como veremos, serán parecidos.

Nuestra visión del tono virtual se puede resumir en el siguiente enunciado: Cualquier fragmento de la estructura patrón del acorde convergente DO:MI:SOL:SIb tiene como tono virtual DO (converge hacia DO). La causa de ello se debe a las propiedades acústicas que se observan al filtrar determinados armónicos; en estos casos la sensación de fundamental no varía, aunque sea la misma fundamental la que se elimine. Por ejemplo, los acordes MI:SOL, MI:SOL:SIb, MI:DO, SIb:DO, MI:SIb, etc. convergen hacia DO (tienen como fundamental DO). Todos estos tipos de acordes, fragmentos de la estructura de los 7 primeros armónicos, los llamamos acordes convergentes. (Fig. 4)

Sí hacemos la prueba de oír estos acordes convergentes con sonidos puros (ondas sinusoidales en la afinación natural) veremos que, efectivamente, en todos estos casos, la nota DO es perfectamente audible.

 

Al ajustar las subestructuras interválicas del acorde convergente completo a la gama equi-temperada, nos encontramos con dos intervalos-tipo problemáticos:

El primer caso es la equivalencia de los intervalos MI:SOL y SOL:SIb. Como que nuestro objetivo es simplificar nuestro modelo al máximo posible, consideraremos a efectos prácticos, el primer acorde como inhibidor del segundo. Esto por dos razones, primero porque el intervalo natural MI:SOL está más próximo al intervalo temperado de 3ª menor que el intervalo natural SOL:SIb. Aunque nosotros, a efectos prácticos, eliminemos este segundo intervalo, siempre habrá de tenerse en cuenta que el intervalo SOL:SIb tiene, en consecuencia, un débil tono virtual en DO (o lo que es lo mismo, que el intervalo MI:SOL tiene un débil tono virtual en LA).

El segundo caso problemático, es la equivalencia, en la gama equi-temperada, de las inversiones del intervalo MI:SIb. Este hecho provoca que éste intervalo tenga dos fundamentales virtuales, que son DO (cuando el sistema auditivo percibe MI:SIb) o F# (cuando el sistema auditivo percibe LA#:MI). En nuestro modelo, solo consideraremos dos fundamentales virtuales cuando la notación armónica de un acorde sea ambigua, en caso contrario, consideraremos que el sistema auditivo aprecia una sola fundamental. Por ejemplo, el acorde MI:SIb:FA descarta cualquier interpretación del sistema auditivo de la nota SIb como LA# ya que MI y FA dan soporte a SIb, no a LA#. Por lo tanto, las dos fundamentales principales son DO (MI:SIb) y SIb (SIb:FA) y no FA#.

 

Concebidos los tonos virtuales de esta manera, es decir, según estructuras convergentes, nos encontramos que, si analizamos todos los acordes musicales hasta cinco notas, el 93,3% de estos acordes se pueden descomponer en dos acordes convergentes. Esto equivale a decir que la mayoría de los acordes tienen dos fundamentales significativas (Fig. 5). Esta simplificación del concepto de tono virtual, como veremos, nos ayudará enormemente en los análisis armónicos.

Descomponer cualquier acorde en dos acordes convergentes puede parecernos un trabajo complicado, pero este análisis se simplificará cuando veamos que, de todos estos intervalos que forman la estructura patrón del acorde convergente, únicamente dos son funcionalmente importantes y significativos: los intervalos de 3ª mayor (DO:MI) y 5ª disminuida (MI:SIb).

La tensión interna de una sola nota

¿Por qué después de hacer sonar (con cualquier instrumento musical) una única nota hay notas posteriores "de resolución"; notas que producen una sensación de distensión armónica que no tienen otras?

Desligados de cualquier recuerdo tonal, ¿por qué pulsando FA después de DO obtenemos una sensación de resolución? ¿Por qué al pulsar MI después de FA también tenemos esta sensación de resolución o distensión?

El hecho de haber reducido el espectro armónico de una nota al acorde convergente DO:MI:SOL:SIb nos proporcionará una respuesta sorprendentemente simple a estas preguntas.

Desde los inicios de la teoría musical los dos intervalos considerados como más consonantes ha sido, como es bien conocido, los intervalos de octava y de 5ª. Esto se explica sí damos una ojeada a la Fig. 3. Esta consonancia es debida a la gran cantidad de armónicos comunes que tienen estas notas. La octava tiene tantos de comunes con la fundamental, que el sistema auditivo la considera la "misma nota" con un "timbre especial". Esto proviene del efecto acústico que hemos mencionado anteriormente, por el cual se pueden eliminar armónicos sin que haya una variación significativa en la percepción del tono fundamental. En el caso de la 5ª esta "identificación" se produce a otro nivel perceptivo.

Un intervalo que esté muy cerca del intervalo de octava o de 5ª (pero sin coincidir exactamente) será considerado por el sistema auditivo como una "deformación" de la consonancia pura y, por lo tanto, provocará una tensión en dicho intervalo.

Si nos fijamos, en el acorde DO:MI:SOL:SIb tenemos dos "casi quintas" o "falsas quintas". Son los intervalos-tipo MI:DO y MI:SIb, los cuales solo tienen "un semitono" de diferencia respecto la 5ª justa. Esta aproximación a la 5ª justa está aún más acentuada sí nos estamos refiriendo al sistema equi-temperado.

La nota MI es la auténtica protagonista de este conflicto interno. Por un lado, es un tono "natural" ya que es el 5º armónico de la fundamental DO, pero, por otro lado, provoca un conflicto ya que crea, con los otros armónicos, las falsas quintas MI:DO y MI:SIb. Esta contradicción crea cierta inestabilidad y, por lo tanto, cierta tensión interna en el tono.

La "falsa quinta" MI:DO puede "resolver la afinación" con la 5ª justa FA:DO o bien con la 5ª justa MI:SI. Es decir, las notas FA y SI son "resoluciones" de esta tensión interna. Pero, sorprendentemente, estas dos notas (FA y SI) también son resoluciones (entre otras) de la otra tensión interna formada por la "falsa 5ª" MI:SIb, la cual puede resolver en las quintas justas Bb:F y MI:SI (siempre considerando las quintas como intervalo-tipo)(Fig. 6).

La resolución del tono DO en FA tiene el valor añadido de que, a su vez, el sistema auditivo reconoce a DO como tercer armónico de FA. Esta última es la argumentación clásica que se suele aducir para explicar la tendencia de DO hacia FA, pero, como hemos visto, no es la única. Es bien sabido que la sensación de resolución armónica es mayor al oír la quinta inferior de una nota que al oir la octava inferior de esta misma nota; esto es una prueba de que el reconocimiento de las notas como armónicos próximos no es la principal explicación de su resolución, ya que la octava es el 2º armónico y esta más próximo a la fundamental que la 5ª. Según la teoría de la proximidad armónica el intervalo de 8ª debería ser más resolutivo que el de 5ª. El hecho de que la sensación de resolución sea mayor para la 5ª que para la 8ª se debe a ésta tensión interna que tiene cualquier nota por sí sola.

Resumiendo, cualquier nota tiene una tensión interna. Esta tensión tiene dos resoluciones: una resolución principal a su 5ª inferior y una resolución secundaria a su 2ª menor inferior (pensando siempre los intervalos como intervalo-tipo). Trasladando esta tensión a los tonos virtuales, una fundamental (como tono virtual) tendrá una resolución o distensión principal hacia una fundamental una 5ª inferior y una resolución o distensión secundaria hacia una fundamental una 2ª menor inferior. Así pues, el tono DO, por si solo o como fundamental, tiene dos tendencias resolutivas: hacia FA y SI. Fijémonos que estas dos resoluciones ocupan los polos opuestos en el círculo de quintas.

Estas dos tendencias resolutivas constituyen los fundamentos de todas las leyes cadenciales de la armonía y la tonalidad en la historia de la música.

Hasta el siglo XVI estas dos cadencias se emplearon juntamente con las cadencias entendidas como "resolución" de las disonancias producidas por el choque entre las voces. A partir de los siglos XVI y XVII las fórmulas cadenciales basadas en el salto de quinta fueron desplazando a las otras fórmulas, aunque las formulas frigias (salto inferior de la 2ª menor del tono virtual principal) aún eran bastante usadas, especialmente en Monteverdi. A partir del progresivo establecimiento de las leyes de la tonalidad durante el siglo XVIII, la cadencia "auténtica" fue adquiriendo un protagonismo absoluto en las resoluciones cadenciales. La razón del desplazamiento de las fórmulas frigias se debe a que, en las escalas diatónicas mayor y menor de la tonalidad clásica, no se puede hacer el movimiento de fundamentales (entendidas como tonos virtuales) de 2ª menor inferior --excepto el movimiento iv-V en el modo menor con sensible (enlace considerado cadencial)-- sin que se produzcan cromatismos. Ahora bien, la fuerza cadencial de este movimiento conjunto es lo suficientemente potente para provocar también su uso en la tonalidad clásica, encubierta en otras formulas cadenciales, como fueran, por ejemplo, las cadencias napolitanas y el uso de la sexta aumentada. En la Grecia clásica la escala descendente dórica (equivalente al modo frigio eclesiástico) era considerada el "auténtico modo helénico", estaba formado por dos tetracordes idénticos descendentes (MI-RE-DO-SI) y (LA-SOL-FA-MI) con resoluciones DO-SI y FA-MI. Platón consideraba este modo como el modelo del orden para la Republica.10 Para los griegos sería impensable una tónica "resolutiva" en DO. Por los que se refiere a la música popular, el uso de las fórmulas frigias es bien conocida, especialmente en España.

Las fundamentales funcionales de un acorde

En las páginas anteriores, hemos visto que los tonos virtuales de los acordes quedaban determinados por la estructura de los 7 primeros armónicos primos, representados por los intervalos patrón del acorde DO:MI:SOL:SIb, es decir los intervalos-tipo de 3ªM, 5ª y 7ªm --que determinan una "fundamental real" DO-- y los intervalos-tipo de 3ªm y 5ªd --que determinan una "fundamental virtual" DO-- (Fig. 4). Como que la mayoría de acordes con 5 notas se pueden descomponer en dos acordes convergentes, los acordes hasta 5 notas tienen dos fundamentales (reales o virtuales) principales. El peso funcional de las dos o más fundamentales asociadas a los acordes no queda establecido únicamente por la proximidad de un armónico respecto a la fundamental, sino como hemos visto, también por la tensión interna que crean los 7 primeros armónicos de cualquier tono (armónico).

La tensión de una acorde convergente (con fundamental real o virtual DO) viene provocada principalmente por la nota MI. De los cuatro armónicos primos principales (núms. 2,3,5 y 7), el correspondiente al nº 5 (intervalo-tipo de 3ªM) tiene, pues, una importancia capital. La fundamental (real o virtual) que tenga, en un acorde, la 3ªM la llamaremos fundamental funcional, ya que tendrá la tendencia a "resolver" --su tensión-- hacía su 5ª o 2ª menor inferior.

Para que todas estas propiedades de los acordes queden reflejadas en el análisis armónico usaremos una sencilla nomenclatura para cada tipo de fundamentales. En primer lugar, por razones de espacio, usaremos la notación anglosajona de la notas. Simplemente, expresaremos en mayúsculas las fundamentales de los acordes convergentes que tengan esta "conflictiva" nota y en minúsculas las fundamentales de los acordes convergentes que no la tengan. También efectuaremos otra distinción entre los acordes convergentes que dispongan del SIb (entiéndase la nota correspondiente al 7º armónico) y los que no. Finalmente haremos otra distinción entre los acordes convergentes que tengan fundamental real o bien virtual; todo esto tal como se expresa en la Fig. 4. No haremos ninguna distinción entre los acordes convergentes que dispongan o no de la 8ª o la 5ª (de la fundamental) ya que, como se puede demostrar, estas notas no influyen en el establecimiento de las propiedades funcionales de los acordes por ser notas íntimamente relacionadas con la fundamental y, de alguna manera, como hemos visto, se identifican con ella. En teoría musical, esto se da por sobreentendido por lo que se refiere a la octava, que se puede suprimir sin mayores problemas, pero normalmente se confunde el significado de la 5ª como armónico potente y consonante, con el significado de dar soporte FUNCIONAL a una fundamental. Los intervalos de 8ª y 5ª son los más consonantes y familiares de la fundamental y, por lo tanto, son los que MENOS importancia funcional tienen cuando aparecen en un acorde!

Veamos todo lo expuesto hasta el momento aplicándolo, de nuevo, al acorde menor LA:DO:MI

Este acorde se puede descomponer como suma de los acordes convergentes LA:MI y DO:MI, por lo tanto tendrá dos fundamentales principales que son DO y la. La "fundamental funcional" es DO (ya que, con la nota MI, dispone del intervalo de 3ª mayor). Este acorde tendrá dos tendencias resolutivas hacia las fundamentales FA y SI. Este sería el resultado simplificado de nuestro modelo, suficiente para el análisis de partituras sobre el papel. Si fuéramos a un estudio más detallado encontraríamos un tono virtual muy débil determinado por el intervalo de 3ª menor (LA:DO considerados como armónicos 5º y 3º) que proporcionan la fundamental virtual FA (patrón FA:LA:DO), y aún encontraríamos otro tono virtual mucho más débil determinado por el mismo intervalo (LA:DO considerados como armónicos 3º y 7º) que proporciona la fundamental virtual RE (patrón RE:FA#:LA:DO).

Si utilizamos el modelo de Terhardt, pero aplicando únicamente los 7 primeros armónicos --en vez de los 9 primeros del modelo original-- obtendríamos también las fundamentales RE, FA, LA, DO como las que obtienen mayor "puntuación" (cuádruple empate a "2 puntos").

Si usamos el modelo de Parncutt, pero aplicado únicamente a los 7 primeros armónicos también obtendremos los tonos RE, FA, LA, DO como los que obtienen mayor "puntuación" pero, en este caso, según el siguiente orden: LA(1,60), DO(1,33), FA(0,83), RE(0,75).

Apliquemos ahora nuestro modelo al acorde DO:MIb:SOLb:SIb, también analizado por Parncutt en su artículo.

Este acorde se puede descomponer en dos acordes convergentes que son DO:MIb:SOLb y SOLb:SIb que proporcionan, respectivamente, las fundamentales LAb y SOLb (patrones LAb:DO:MIb:SOLb y SOLb:SIb). Las dos fundamentales "poseen su armónico 5º" --la 3ª mayor--, por lo tanto serán fundamentales funcionales y las anotaremos en mayúsculas. La fundamental LAb es virtual y la fundamental SOLb es real (existe en el acorde). Las dos tienen una importancia similar.

El modelo de Terhardt (7 armónicos) da como fundamental principal LAb y como secundarias SOLb, DO, RE, MIb, FA y DOb. El modelo de Parncutt da como fundamental principal MIb y como secundarias DO, SOLb, LAb y Bb (por este orden). Este modelo, a nuestro entender influido negativamente por la teoría clásica, también incluye las fundamentales LAb y SOLb, pero de una manera secundaria.

Desde nuestro punto de vista, sí un acorde se puede descomponer en dos acordes convergentes, las fundamentales de estos acordes convergentes son suficientemente representativos del acorde, ya que todas las notas del acorde están representadas y no es necesario buscar tonos virtuales más débiles que complicarían el análisis armónico.

Aplicación de la teoría de los acordes convergentes en el análisis armónico

Un acorde convergente tiene una única auténtica fundamental que lo representa. Como hemos visto, estas fundamentales "resuelven" en otros acordes convergentes las fundamentales de los cuales estén una 5ª inferior o una 2ª menor inferior, tal como queda reflejado en la Fig. 7 (distensión local, con independencia de un campo tonal)11.

En la Fig. 6 puede verse que la resolución de las "falsas quintas" DO:MI y MI:SIb crea unos movimientos interiores que son los de "semitono" ascendente y "semitono" descendente. Estas dos resoluciones "melódicas" están íntimamente asociadas a las dos resoluciones "armónicas" citadas, pero se han de considerar resoluciones de distinta clase y deducidas de las primeras. Un movimiento ascendente por semitono resuelve melódicamente entre notas, pero esta resolución nunca puede aplicarse a fundamentales. Podríamos decir que DO resuelve en SI "armónicamente" y que SI resuelve en DO "melódicamente" a consecuencia de la asociación por el sistema auditivo de estos movimientos con los movimientos interiores de los armónicos para afinar las "falsas quintas" internas y por el transcurrir melódico-tonal. Desde el punto de vista del análisis armónico local la sucesión de fundamentales DO-SI es una sucesión de distensión y la sucesión de fundamentales SI-DO una sucesión de tensión, de la misma manera que la sucesión DO-FA es, localmente, una sucesión de distensión y la sucesión FA-DO una sucesión de tensión.12

Cuando un acorde esta formado por dos acordes convergentes disponemos de dos fundamentales; si son funcionales (disponen, en el acorde, del 5º armónico -su 3ªM-), cada una de ellas tendrá tendencia a resolver hacia una fundamental que esté una 5ª inferior o una 2ª menor inferior. La resolución de los acordes compuestos se puede considerar como resultante de las resoluciones de sus fundamentales.

La resolución de una de sus fundamentales no siempre es resolución satisfactoria de todo el acorde, ya que puede crear tensión respecto la otra fundamental. Por ejemplo, de las dos resoluciones (REb y SOL) de la fundamental LAb del acorde anterior (DO:MIb:SOLb:SIb), la que descansa en SOL crea tensión respecto la otra fundamental de acorde: SOLb. En cambio, la que descansa en REb es buena para todo el acorde, ya que REb es armónico de SOLb.

Si una fundamental es, a su vez, distensión de las dos fundamentales anteriores, entonces el sentido cadencial es indudable, aunque el segundo acorde sea más disonante que el primero. En la Fig. 8(a) FA es tanto la resolución de DO como de SOLb, por lo tanto, independientemente de la resolución de "sonancia", tenemos una clara resolución armónica. En la Fig. 8(b) vemos el mismo caso ya que SI es resolución tanto de DO como de SOLb (FA#). En la Fig. 8(c) el acorde BF también es clara distensión armónica ya que SI y FA son siempre resoluciones, en cualquier combinación, de las fundamentales DO y SOLb (aunque el acorde sea igual o más disonante que el anterior). Incluso en la Fig. 8(d) tenemos distensión armónica aunque la tensión de sonancia en contra sea muy grande. La resolución armónica de la Fig. 8(c) es precisamente la que se encuentra después de oir el acorde del Tristán en el inicio del Preludio. La disonancia de la apoyatura del 3er compás contrasta con la enorme distensión armónica producida por el mismo acorde respecto al anterior. (Ejemplo 1)

 

En los ejemplos 1, 2, 3 y 4 vemos distintas muestras de resoluciones entre diversas fundamentales de los acordes según la descomposición convergente, siguiendo el concepto de tono virtual. Una flecha indica resolución o distensión armónica local; si es discontinua indica otra resolución más débil (ver Nota 12). En el pentagrama inferior de cada ejemplo se representan las fundamentales; una blanca indica fundamental funcional (la fundamental dispone de la 3ª mayor -fundamental en mayúscula-), una negra indica fundamental no funcional.

                                 

 

La representación gráfica utilizada en los ejemplos explica las resoluciones armónicas más fácilmente que usando palabras. Brevemente podemos comentar que en el ejemplo 2 (Noche Transfigurada) se produce una clara resolución armónica entre las fundamentales del compás 42, aunque el último acorde no sea muy consonante. Además, este acorde también descansa porque vuelve a disponer de la fundamental FA del primer acorde del compás 41 y su otra fundamental (SOL) es la 5ª inferior de la otra fundamental (re) del primer acorde. En el ejemplo 3 (Im Treibhaus) tenemos sucesiones cadenciales entre acordes porque una de las fundamentales siempre hace un salto de 5ª mientras la otra se mantiene en el segundo acorde. En el ejemplo 4 (Dormienti Ubriachi) vemos un caso parecido, en este caso utilizando la resolución de 2º orden: una fundamental (virtual) se mantiene y la otra realiza un salto de 2ª menor inferior. Las combinaciones posibles entre fundamentales, parecidas a los ejemplos anteriores, son numerosas y pueden ser una ayuda, tanto para la composición, como para el esclarecimiento de sucesiones cadenciales que no tienen una explicación clara desde el punto de vista de la tonalidad estructural de grados. Hemos de dejar constancia que estas sucesiones estudiadas son distensiones armónicas de ámbito local y, evidentemente, están influenciadas por el campo tonal en que estén inmersas. Una fundamental, funcional o no, tendrá una resolución (tonal) añadida sí coincide con la tónica o la dominante del vector más potente del campo tonal (la "tonalidad").

Otra de las utilidades de desglosar los acordes, según los conceptos de tono virtual y fundamental funcional, es la de determinar los centros tonales de piezas musicales con campos tonales débiles (música muy cromática).

La evolución de la tonalidad clásica que se produjo entre los siglos XVII y XVIII tiene sus bases acústicas, por un lado, en la tendencia MELÓDICA del armónico MI (del tono DO) al tono FA --por tal de resolver las "falsas quintas"--, tal como se muestra en la Fig. 6a. Por otro lado, la estructura armónica "de tensión" estudiada DO:MI:SIb es representada por el tono DO, que, a su vez, es generado por FA (como armónico 3º). La tendencia a FA es, pues, muy fuerte. En otras palabras, los tonos DO:MI:SIb crean un centro tonal en FA (un vector tonal en dirección a FA). Si pulsamos una sola nota DO (o el acorde de DO mayor) no estamos, como dicen los tratados de armonía en el tono de DO, sino en el tono de FA.

No es que hayamos descubierto nada nuevo, desde Riemann se sabe que los acordes de tónica, subdominante y dominante (con sensible) establecen un centro tonal. Según nuestros razonamientos y trasladando nuestro lenguaje al lenguaje tonal clásico, el enunciado varía ligeramente y es más esquemático: consideradas como notas, la dominante, la sensible y la subdominante (las notas DO:MI:SIb en el tono de FA) determinan un centro tonal --la tónica se da por asumida.

El método tradicional y práctico para buscar centros tonales consiste, para la mayoría de músicos, en algo que podríamos definir como "el seguimiento de la sensible". Esto no esta explícitamente definido en teoría musical, pero es el sistema más práctico para conocer las modulaciones a primera vista. Un sistema más lento, pero más preciso, es el determinado por la teoría funcional de grados de las dos escalas diatónicas. Estos sistemas pueden funcionar en obras donde los cambios de tonalidad no son complejos, pero en obras más cromáticas (campos tonales más débiles) resulta mucho más difícil su aplicación. A todo esto, hay que añadir que en este tipo de obras más cromáticas, los compositores, en función de que su pensamiento sea "vertical" o "horizontal", frecuentemente tienen dos opciones en la representación de una misma nota y la auténtica sensible puede quedar escondida a causa de una "falsa enarmonía".

Nuestro sistema de fundamentales puede dar nueva luz al respecto. Si las notas DO:MI:SIb determinan un centro tonal, entonces, una vez descompuestos los acordes en acordes convergentes, solo habrá que buscar un intervalo de 2ª mayor entre fundamentales o encontrar la fundamental Cº. La razón la tenemos en que, por ejemplo, encontrar las fundamentales SIb (o sib) y DO, implica disponer de las notas DO, MI, SIb. Sí las fundamentales son virtuales, el efecto tonal es el mismo. Con un poco de práctica, buscar las fundamentales de cualquier acorde se reduce a buscar los intervalos-tipo de 3ª mayor o tritono.

Los acordes tipo Cº y CBb determinan, por si solos, un centro tonal en FA (la fundamental C debe ser funcional, la fundamental Bb no es necesario que lo sea), ya que disponen de las notas DO (real o virtual), MI y SIb. El acorde del Tristán (Ej. 1), por ejemplo, es un acorde de este tipo (acorde C#B), por lo tanto determina un centro tonal local en FA#. El siguiente compás determina un centro tonal local en LA (Eº). El campo tonal global que percibe el sistema auditivo en cada instante es una resultante de los vectores tonales anteriores y del grado de reposo armónico que tenga cada acorde, según las distensiones locales que hemos visto anteriormente. El ejemplo del Tristán se inicia en el tono de FA (en FA sí consideramos el MI del final del compás, pero en realidad hasta entonces estamos en SIb), tenemos un centro tonal de paso en FA# y un centro tonal de reposo en LA gracias a las resoluciones armónicas locales de 5ª y 2ª menor de los acordes anteriores en Eº. A estas resoluciones armónicas locales (resoluciones independientes de la tonalidad) las denomino distensiones "homotónicas".

La localización de este intervalo de 2ª mayor entre fundamentales también determina un centro tonal sí lo encontramos en acordes distintos (es equivalente a encontrar, localmente, las funciones de subdominante y dominante).

La clara percepción de los centros tonales también depende, evidentemente, del tempo de la obra musical.

Pondremos otro ejemplo de determinación de centros tonales (Ej. 5), no porque su identificación cree muchos problemas, sino porque ha sido motivo de diversos estudios.

Leman (1995a,b) aplica su modelo de percepción retroactiva de centros tonales al Sexteto Nº 2 de Brahms (compases 149-164)(Fig. 9). El modelo de Leman es un modelo acústico, es decir, no se aplica sobre música simbólica en partituras, sino música real escuchada en disco o interpretada en vivo. Leman basa su sistema imitando el modelo del sistema auditivo, que transforma señales musicales en patrones de tonos virtuales. Sus resultados se basan en el análisis de las frecuencias de los movimientos neurales en los canales auditivos.

 

 Como puede verse comparando el Ejemplo 5 y la Fig. 9, los dos modelos dan unos resultados parecidos. Ambos modelos tienen en cuenta los principios básicos de la percepción de los tonos virtuales (fundamentales), el nuestro aplicado a la música simbólica y el de Leman a la música real.

La única diferencia entre los dos modelos se encuentra en torno a los compases 159 y 160 donde nosotros encontramos un centro tonal en LA mientras la Fig. 8 muestra SOL y DO.

En comparación con el ejemplo de Leman hemos de comentar que nuestro modelo, cuando se refiere a centros tonales, no hace diferencias entre modos. Sol mayor y Sol menor tienen el mismo centro tonal (el tono SOL), aunque el color musical sea distinto. El color modal es provocado principalmente por la tercera nota de la escala, la nota SI, que en Sol mayor (y otros modos) provoca una tensión en dirección a Do mayor/menor, cosa que no sucede en Sol menor (y otros modos).

Resumen y conclusiones

En el análisis armónico de la música posterior y anterior a la tonalidad clásica con frecuencia la teoría musical se encuentra con dificultades para explicar la razón de ciertas sensaciones cadenciales y resoluciones armónicas.

Las distensiones armónicas se pueden dividir en tres tipos: por resolución de (con)sonancia, por distensiones armónicas locales y por distensiones tonales. En este artículo se desarrolla un modelo, basado en ciertas propiedades del sistema auditivo, que puede aportar nueva luz en el estudio de las dos últimas: las distensiones armónicas locales (distensiones homotónicas) y las distensiones tonales. A su vez, es un modelo práctico "sobre el papel" en el sentido que, a diferencia de otras teorías de tonos virtuales, no es necesario introducir la música en un ordenador para obtener los resultados de los análisis.

El modelo se basa en la extracción de las dos fundamentales principales que tienen el 93,3% de los acordes con menos de 6 notas (Balsach, 1994). Para la extracción de estas dos fundamentales se aplican los conceptos básicos de tono virtual reducidos a los armónicos que ocupan posición prima dentro de los siete primeros armónicos. Es decir, únicamente se consideran los armónicos 2, 3, 5 y 7, los cuales, según nuestra teoría --y según la historia de la teoría armónica--, son una síntesis y representación --en el sistema auditivo humano-- del resto de los armónicos.

El modelo proporciona nueva información sobre la tendencia resolutiva de las fundamentales. Una fundamental es "funcional" cuando, además de representar al acorde --o a una parte del acorde--, dispone de su 3ª mayor. Esto implica dotar a la parte del acorde que la fundamental representa de una tensión interna la cual resuelve, localmente, de dos maneras principales: con el salto de la fundamental una 5ª inferior o con el salto de la fundamental una 2ª menor inferior (o los intervalos superiores complementarios). Esta tensión que produce la 3ª mayor se deduce de la tensión que siempre crea el armónico 5º de cualquier tono respecto la fundamental y el 7ª armónico. Tensión reflejada en la dos "casi quintas" o "falsas quintas" que producen estos intervalos y que se resuelven, sorprendentemente, de la misma forma.

Las fundamentales funcionales, que pueden ser virtuales o formar parte del acorde, son las que nos proporcionan mayor luz cuando se trata de analizar las tensiones entre sucesiones de acordes o buscar los centros tonales. Dado un acorde complejo, las fundamentales funcionales se pueden localizar rápidamente buscando los intervalos-tipo de 3ª mayor y también el de 5ª disminuida (ya que la fundamental funcional puede ser virtual).

Un acorde será distensión local (distensión homotónica) del acorde anterior si también lo son su(s) fundamental(es) respecto la(s) fundamental(es) anteriores. Un intervalo de 2ª mayor entre fundamentales determina un centro tonal (la segunda fundamental ha de ser funcional, aunque sea virtual).

Un sencillo sistema de representación de las características funcionales de las fundamentales nos proporciona un mapa armónico de la partitura y nos da una visión esquemática y esclarecedora de las tensiones armónicas y tonales que entran en juego.

 

Notas.

1. Tabla 1 en Terhardt, Stoll & Seewann (1982c).

2. Rameau dice lo siguiente sobre el basse fondamentale: chaucun des sons de cette basse (fondamentale) représentant un générateur, se fait reconnaitre en même-temps pour la cause immediate de tous les effets musicaux. (Démonstration du principe de l'harmonie, 1750).

3. Tartini considera SIb como la fundamental virtual (terzo suono) de la 5ª disminuida RE:LAb, coincidiendo con la moderna teoría armónica funcional (Tartini 1767, De' principj dell'armonía musicale, pag 85).

4. Término de difícil traducción: puede significar forma, entidad o configuración. La teoría Gestalt da mayor énfasis a la percepción de lo global.

5. Traducimos los terminos pitch class, interval class y chord class (muy empleados en inglés) como tono-tipo, intervalo-tipo y acorde-tipo. Se refieren a la equivalencia entre notas, intervalos y acordes respecto a octavas, inversiones (en el sentido armónico, no como simetría interválica) y transportes. Por ejemplo el SOL4 y el SOL5 son el mismo tono-tipo, el intervalo de 4ª y el de 5ª son el mismo intervalo-tipo, el acorde RE:FA:LA y el acorde SI:SOL:MI es el mismo acorde-tipo (acorde menor), etc. El término tono-tipo a veces lo reducimos simplemente al de tono, que en español tiene un significado similar.

6. Su razonamiento es el siguiente: (Siguiendo sus pasos representaremos los intervalos de la siguiente manera: P1 (unísono, octava), M2 (2ª mayor), M3 (3ª mayor), m3 (3ª menor), P5 (5ª perfecta), etc.)

Parncutt afirma que el intervalo m3 también da soporte, indirectamente, al bajo. Como argumentación expone que el 3er armónico (P5) y el 5º armónico (M3) de una fundamental se podrían considerar también 7º armónico (m7) y 3er armónico (P5) de un tono teórico una 3ª menor inferior a esta fundamental. Por ejemplo, el tono DO tiene como 3er armónico (P5) SOL y como 5º armónico (M3) MI. Pero, a su vez, SOL podría considerarse 7º armónico (m7) del tono LA, y MI podría 3er armónico (P5) del mismo tono LA. Es decir, el sistema auditivo oiría una especie de subarmónico (?) una 3ª menor de la fundamental.

Según nuestro parecer, cuando Parncutt incluye el intervalo m3 como soporte del bajo, está desvirtuando la teoría del tono virtual. Su teoría sería equivalente a decir que el sistema auditivo reconoce, de alguna manera, un subarmónico una 3ª menor de la fundamental, lo cual es una afirmación muy atrevida. Igual que afirma que dado un tono DO y sus armónicos, LA puede considerarse subarmónico de SOL y MI, de la misma manera podría decir que MIb se puede considerar subarmónico de SOL y SIb (que también son armónicos principales de DO) y, por lo tanto, añadir el intervalo M6 como soporte de una fundamental. Es decir, en contradicción precisamente con el intervalo m3 como soporte de una fundamental.

7. En realidad el senario se puede reducir a las relaciones entre los números 1, 2, 3 y 5 ya que 4 y 6 son múltiplos de 2 y 3. La escuela pitagórica únicamente consideraba los tres primeros (1,2,3)

8. En realidad, en la práctica musical cotidiana, no se producen nunca estas relaciones interválicas numéricas simples. Estudios como los de Fransson, Sundberg & Tjernlund (1974), pero, parecen demostrar que se pueden producir considerables variaciones en la afinación de una pieza musical sin que por ello se pierda la noción de estructura tonal y armónica determinada por estas relaciones numéricas (que son relaciones entre armónicos).

9. Más allá del armónico 24 el efecto acústico de enmascaramiento hace completamente imperceptibles los armónicos posteriores.

10. Sigmund Levarie. International Journal of Musicology Vol.1, 1992.

11. En tonalidad tradicional cuando se emplea la resolución de fundamentales Cº-B se acostumbra a enarmonizar el SIb por LA# (acorde de 6ª aumentada) y las quintas que se producen son conocidas como quintas Mozart.

12. Aparte de estas dos resoluciones armónicas entre fundamentales existen, en nuestro modelo, otras dos resoluciones armónicas entre fundamentales, más débiles. No las demostraremos en este ensayo, pero podemos decir que son el salto de la fundamental una 2ª mayor ascendente (o 7ª menor descendente) y el salto de la fundamental una 3ª mayor ascendente (o una 6ª menor descendente).

Nos estamos refiriendo siempre a distensiones armónicas locales. La cadencia plagal FA-DO es producida por la fuerza de la memoria tonal y por el descanso que produce descansar en el acorde de tónica pero, localmente, es una sucesión de tensión.

 

Referencias

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Llorenç Balsach, Mayo 1996